Γεννήθηκε στη Λευκωσία και σπούδασε στο Πανεπιστήμιο Αθηνών φιλολογία (1919 – 1923). Καθηγητής Παγκυπρίου Γυμνασίου (1923 – 1931). Σπούδασε στο Πανεπιστήμιο Βερολίνου αρχαία ιστορία, κλασική φιλολογία και φιλοσοφία (1931 – 1934) με υποτροφία της αρχιεπισκοπής. Αναγορεύτηκε διδάκτορας το 1934. Καθηγητής Παγκυπρίου Γυμνασίου (1934 – 1935), υποδιευθυντής (1935 – 1936), γυμνασιάρχης (1936 – 1960). Μέλος Εθναρχικού Συμβουλίου και Γραφείου Εθναρχίας Κύπρου (1948 – 1960), μέλος Επιτροπείας αποκαταστάσεως Ελλήνων προσφύγων στην Κύπρο κατά τη διάρκεια του Β΄ παγκοσμίου πολέμου, αναπληρωτής γενικός επιθεωρητής σχολών αλλοδαπής στην Κύπρο (1954) (διορισμένος από το Υπουργείο Παιδείας Ελλάδας), πρόεδρος Ελληνικού Εκπαιδευτικού Συμβουλίου (1959 – 1960), πρόεδρος Ελληνικής Κοινοτικής Συνέλευσης (1960 – 1965) και υπουργός Παιδείας (1965 – 1970). Ιδρυτής και πρόεδρος Εταιρείας Κυπριακών Σπουδών (1936 – 1976), ιδρυτής και πρόεδρος Ελληνικού Πνευματικού Ομίλου Κύπρου (1947 – 1976), ιδρυτής και πρόεδρος Συνδέσμου Ελλήνων Φιλολόγων Κύπρου «Ο Στασίνος» (1962 – 1974), όταν οικειοθελώς παραιτήθηκε. Ίδρυσε το Κέντρο Επιστημονικών Ερευνών (1962), του οποίου υπήρξε πρόεδρος του διοικητικού συμβουλίου μέχρι το θάνατό του. Ιδρυτής και πρόεδρος Ο.Ε.Λ.Μ.Ε.Κ. (Οργάνωση Ελλήνων Λειτουργών Μέσης Εκπαίδευσης) (1953 – 1959).
Η γυμνασιαρχία του Σπυριδάκι υπήρξε η πιο πολυετής όλων. Σ’ αυτόν οφείλει κατ’ εξοχήν το Παγκύπριον Γυμνάσιον τη συστηματική του οργάνωση και την ακμή του. Παράλληλα προς το εκπαιδευτικό του έργο ο Σπυριδάκις ανέπτυξε πολύπλευρη εθνική, πολιτιστική και κοινωνική δράση. Δέχτηκε πολλές τιμητικές διακρίσεις με κυριότερες: Μεγαλόσταυρος του Τάγματος του Φοίνικος (Ελλάς), Χρυσούν και Αργυρούν μετάλλιον Πατριαρχείου Ιεροσολύμων, Χρυσούν μετάλλιον Γκαίτε Μονάχου, Αργυρούν μετάλλιον Παντείου Ανωτάτης Σχολής Πολιτικών Επιστημών, Χρυσούν μετάλλιον Αποστόλου Βαρνάβα Εκκλησίας Κύπρου, Αντεπιστέλλων Εταίρος Ακαδημίας Αθηνών, Ιονίου Ακαδημίας, Φιλολογικού Συλλόγου Παρνασσός, Επίτιμος διδάκτωρ Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, Επίτιμον μέλος Ελληνικής Λαογραφικής Εταιρείας, Επιστημονικής Εταιρείας Αθηνά και Εταιρείας Μακεδονικών Σπουδών, Επίτιμος πρόεδρος Εθνικής Εταιρείας Ελληνικών Λογοτεχνών Κύπρου, Ομίλου Παιδαγωγικών Ερευνών Κύπρου. Παράλληλα με την εκπαιδευτική δραστηριότητα που ανέπτυξε, ασχολήθηκε με την έρευνα και μελέτη της ιστορίας της Κύπρου.
Η μελέτη Ευαγόρας Α΄ ο Σαλαμίνιος δημοσιεύτηκε πρώτα στη Γερμανία και μετά στο Δελτίον της Εταιρείας Κυπριακών Σπουδών. Το έργο του το οποίο βρισκόταν διασκορπισμένο έχει περιληφθεί σε μια συγκεντρωτική έκδοση με τίτλο Μελέται, Διαλέξεις, Λόγοι, Άρθρα: Ιστορικοφιλολογικαί μελέται και διαλέξεις.